Бөлшек теңсіздік

Мына {ax+b}/{cx+d}>0 теңсіздік бөлшек теңсіздік деп аталады, мұндағы a, b, c, d тұрақты сандар ал x ізделінетің айнымалы.

Мысалы.

{x+1}/{x-1}>0.

Бұндай бөлшектерді шешудің екі әдісі бар:

Бірінші әдіс.

Бөлшек қай уақытта оң болады?

Тек қана бөлшектің алымы мен бөлімінің таңбалары бірдей болғанда ғана.

Соңыдықтан {x+1}/{x-1}>0 бөлшектен мына екі жүйені аламыз:

a). x+1>0 және x-1>0 (яғни бөлшектің алымы мен бөлімі оң болса)

b). x+1<0 және x-1<0 (яғни бөлшектің алымы мен бөлімі теріс болса)

Бұл жүйелердің шешімдерің іздейік:

a). x+1>0 және x-1>0

x>-1 және x>1

x айнымалысы -1 ден де 1 ден де үлкен болуы тиіс, бұдан x>1

немесе x ∈ (1; +∞)

b). x+1<0 және x-1<0

x<-1 және x<1

x айнымалысы -1 ден де 1 ден де кіші болуы тиіс, бұдан x<-1

немесе x ∈ (-∞; -1)

Ақырғы жауабымыз a) және b) жүйелерінің жауаптарының бірігуінен құралады:

x ∈ (1; +∞) ∪ (-∞; -1)

 

Екінші әдіс.

1). x-1>0 деп санаймыз да жоғарыдағы теңсіздіктің екі жағына көбейтеміз:

(x-1) · {x+1}/{x-1}>0 · (x-1)

x+1>0

Бұдан x-1>0 екенің ескере отырып, x айнымалысының x+1>0 ді де, x-1>0 ді де қаңағаттандыруы тиіс екендігі туындайды. Ал бұл дегеніміз жоғарыдағы a) шарты.

2). x-1<0 деп санаймыз да жоғарыдағы теңсіздіктің екі жағына көбейтеміз:

(x-1) · {x+1}/{x-1}<0 · (x-1)

x+1<0

Бұдан x-1<0 екенің ескере отырып, x айнымалысының x+1<0 ді де, x-1<0 ді де қаңағаттандыруы тиіс екендігі туындайды. Ал бұл дегеніміз жоғарыдағы b) шарты.

Сонымен жауабымыз жоғарыдағы a) мен b) жүйелердің шешімдерінің бірігуінен құралуы тиіс, ал бұл есепті біз жоғарыда шығарғанбыз.

 

Жаттығу ретінде мына бөлшек теңсіздікті шешініз:

{x+1}/{2x-4}>0

 

Сабақтар
Яндекс.Метрика
Мектеп оқушыларына арналған tendey.kz математикалық сайты. Сайт визитка сделана в AlmatySite.kz