Функцияның экстремумы

Аңықтама.

Егер y=f(x) функциясы x0 нүктенің белгілі бір δ аймағында: x0– δ < x < x0 + δ аңықталса әрі осы аймақта f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0))болса онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.

Мысалдар.

a). y=sinx функциясы x1= –900 нүктеде минимумға ие, ал x2= 900 нүктеде максимумға ие.

b). y= |1-x2| функциясы x1= 0 нүктеде максимумға ие, ал минимум нүктелері екеу x2= -1, x3= 1.

Теорема.

Егер (a; b) сегментінде дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең: f ′(x0)=0.

Мысал.

y=x2+2x+1

y′(x)=2x+2

2x+2=0

x=-1

Сонымен y=x2+2x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы тиіс.

Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:

Теорема.

y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде  үзіліссіз әрі дифференциалдансын.

f ′(x0)=0 болсын:

a). Егер x<xнүктелерінде  f ′(x) оң ал x>xнүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие.

b). Егер x>x нүктелерінде  f ′(x) теріс ал x0<x нүктелерінде f ′(x) оң болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы минимумға ие.

Осы теоремаға сәйкес y=x2+2x+1 функциясының  y ′(x)= 2x+2 туындысы x<x0=-1 нүктелерінде теріс ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x2+2x+1 функциясы x0=-1 нүктесінде минимумға ие.

Жаттығулар.

Мына функциялардың экстермумдарын аңықтаныз:

a). y= 3x-2x+1                                                                      b). y= x·lnx

Сабақтар
Яндекс.Метрика
Мектеп оқушыларына арналған tendey.kz математикалық сайты. Сайт визитка сделана в AlmatySite.kz