Аңықталған интеграл

Жоғарыдан y=f(x) функциясымен ал төменнен OX координат өсімен шектелген мына фигураның ауданың есептейік:

аңықталған интеграл

Бұл үшін [a; b] сегментің a=x0<x1<…xn-1<xn=b нүктелерімен [x0; x1], [x1; x2] ,…, [xn-1; xn] сегменттерге бөлейік те әрбір сегментте мынандай тіктөртбұрыштарды сызайық:

интегралдық қосынды

Бұл тікбұрыштардың жалпы ауданы аталған фигураның ауданына жуықтап алғанда тең болады.

Осы тікбұрыштардың жалпы ауданы Sn  мынаған тең:

Sn=sum{k=1}{n}{} f(xk*)·(xk-xk-1)  мұндағы xk* ∈ [xk-1; xk]

Тұжырым.

[x0; x1], [x1; x2] ,…, [xn-1; xn] сегменттерінің ең үлкенінің ұзындығы нөлге ұмтылғанда Sn саны аталған фигураның S ауданына ұмтылады, яғни мына шек орынды:

lim{n right infty }{ }Sn= lim{n right infty }{ }sum{k=1}{n}{} f(xk*)·(xk-xk-1)= S

Аңықтама

f(x) функциясының a және b аралығындағы int{a}{b}{f(x) dx} аңықталған интегралы деп мына шекті атаймыз:

int{a}{b}{f(x) dx}=  lim{max { ({x_k}-{x_{k-1}})} right  0}{ }sum{k=1}{n}{} f(xk*)·(xk-xk-1)

Ньютон-Лейбниц формуласы

Егер f(x) функциясы [a; b] сегментінде үзіліссіз болса онда мына формула орынды:

int{a}{b}{f(x) dx}= F(b)- F(a), мұндағы F′(x)=f(x)

Жаттығулар.

Ньютон-Лейбниц формуласын пайдалана отырып мына аңықталған интегралдарды есептеңіз:

a). int{0}{1}{{x^2} dx}                 b). int{pi/2}{pi}{cosx dx}                 c). int{3}{4}{x      {ln(x+1)} dx}

Сабақтар
Яндекс.Метрика
Мектеп оқушыларына арналған tendey.kz математикалық сайты. Сайт визитка сделана в AlmatySite.kz