Арифметикалық прогрессия деген не? Мысалы 2, 4, 6, 8,... сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды. Осы мысалдағы тізбектің бірінші мүшесі 2, екінші мүшесі 4 және тағы да солай сияқты 2 арта береді. Осындай тізбектерді арифметикалық прогрессия деп атайды.
Тағы бір мысал ол натурал сандар жиыны. 1, 2, 3, 4,... деп бірге есейіп жатыр. Жұп сандар жиыны да осындай прогрессияны құрайды. Себебі бірінші мүшесі 2, екінші мүшесі 4, үшінші мүшесі 6 және осылай 2 еселе береді. 1, 4, 7, 10 сандар жиыны прогрессияны құрайды. Себебі 3 еселеніп жатыр.
Бірінші мүшесі a1, екінші мүшесі a2 = a1 + d, үшінші мүшесі a3 = a2 + d ,…, n-ші мүшесі an = an -1 + d болатын сандар тізбегі арифметикалық прогрессия деп аталады. Мұндағы d -тұрақты сан.
Арифметикалық прогрессия мысалдары
a) 3, 6, 9,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=3, a2=6, a3=9, d=3. Шынымен де a1=3, a2=a1+3=3+3=6, a3=a2+3=6+3=9.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+1.
b) 4, 7, 10, 13,… сандар тізбегі арифметикалық прогрессияны құрайды.
Бұнда a1=4, a2=7, a3=10, a4=13, d=3. Шынымен де a1=4, a2=a1+3=4+3=7, a3=a2+3=7+3=10, a4=a3+3=10+3=13.
Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы an=an-1+3.
Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:
a) an=a1+d·(n-1)
b) an=
c) an=
, k<n (n ≠ 1)
Sn символымен арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік.
Яғни Sn=a1+a2+…+an
Мысалы.
Жоғарыдағы 4, 7, 10, 13,… арифметикалық прогрессия үшін S1=4, S2=4+7=11, S3=4+7+10=21.
Тұжырым.
Sn=
· n немесе Sn=
· n
Жаттығулар.
a) 1, 2, 3,… прогрессиясының S5, S10 -ді есептеніз;
b) a1=3, a2=10, a3=17 болса S10 неге тең?
c) Тақ сандар жиыны арифметикалық прогрессияны құрайды ма?