Осыған дейін x2 = -1 теңдеуінің шешімін таба алмадыныз. Алгебра курсында осындай теңдеудің шешімі жоқ делінеді. Себебі теріс саннан түбір алуға болмайды. Осы теңдеудің шешімін i деп белгілейді. Яғни i2 = -1.
Осы сабақта 2 - i не 1 + 4i сияқты сандар оқытылады. Осылар комплекс сандар не басқаша кешен сандар деп аталады. Демек кешен сан ол нақты санға i-ді қосу арқылы пайда болады.
Комплекс сандарды қосу
Кешен сандардың жалпы формуласын былай жаза аламыз:
z = x + i*y. Осы жерде x пен y нақты сандар. i*y бөлігін жалған деп атайды. Себебі осы жерде i бар. Ол нақты сан емес. Демек жалған. Адамның ойында ғана бар сан. Абстракция. Мысалы бес алма бар, алты алмұрт та. Ал i алма дегені қанша?
Екі комплекс санды қосу дегеніміз олардың нақты және жалған бөліктерін біріне бірін қосу. Мысалы 2 - i мен 1 + 4i сандарын қосайық:
2 - i + 1 + 4i = (2 + 1) + (-i + 4i)
2 - i + 1 + 4i = 3 + 3i
Тағы бір мысал ретінде 3 + 5i мен 2 + 3i кешен сандарын біріне бірін қосайық:
3 + 5i + 2 + 3i = (3 + 2) + (5i + 3i)
3 + 5i + 2 + 3i = 5 + 8i
Жаттығу ретінде 3 + i және 7 + 4i сандарын қосып көріңіз. Комплекс сандар қосындысы осылай анықталады.
Комплекс сандардың айырымы
Екі комплекс санды бірінен бірін алуға да болады. Ол қосу сияқты болады. Мысалы 2 + 4i мен 1 + 2i комплекс сандарының айырымын табайық:
2 + 4i - (1 + 2i) = 2 + 4i - 1 - 2i
2 + 4i - (1 + 2i) = (2 - 1) + (4i - 2i)
2 + 4i - (1 + 2i) = 1 + 2i
Тағы бір мысал келтірейік:
3 - i - (2 + 3i) = 3 - i - 2 - 3i
3 - i - (2 + 3i) = (3 - 2) + (-i - 3i)
3 - i - (2 + 3i) = 1 - 4i
Жаттығу ретінде 3 + 3i мен 2 + 4i сандарының айырымын табыныз.
Комплекс сандардың көбейтіндісі
Екі комплекс санды көбейту қосу мен алу сияқты анықталады. Мысалы 2 + 3i мен 3 + 4i сандарын көбейтейік:
(2 + 3i)(3 + 4i) = 2(3 + 4i) + 3i(3 + 4i)
(2 + 3i)(3 + 4i) = 2*3 + 2*4i + 3i*3 + 3i*4i
(2 + 3i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 9i + 12i2
(2 + 3i)(3 + 4i) = 6 + 17i + 12i2
(2 + 3i)(3 + 4i) = 6 + 17i + 12*(-1)
(2 + 3i)(3 + 4i) = 6 + 17i - 12
(2 + 3i)(3 + 4i) = 17i - 6
(2 + 3i)(3 + 4i) = -6 + 17i
Жаттығу ретінде 2 + i мен 2 - i кешен сандардың көбейтіндісін табыныз.
Комплекс сандарды бөлу
Екі комплекс санды біріне бірін бөлу жолын көрсетейік. Мысал ретінде 2 + 3i саның 1 + 2i санына бөлейік:
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (2 + 3i)(1 - 2i)/(1 + 2i)(1 - 2i)
Яғни бөлімдінің алмын және бөлімін 1 - 2i санына көбейттік.
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (2*1 - 2*2i + 3i*1 - 3i*2i)/(1 - 2i + 2i* - 2i*2i)
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (2 - 4i + 3i - 6*i2)/(1 - 4i2)
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (2 - i -6*(-1))/(1 - 4*(-1))
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (2 - i + 6)/(1 + 4)
(2 + 3i)/(1 + 2i) = (8 - i)/5
(2 + 3i)/(1 + 2i) = 8/5 - i/5
Мысал ретінде (3 + i)/(1 + i) қатынасын есептеңіз. Бөлімін (1 - i) санына көбейтіп.
Комплекс сандар нақты сандар сияқты ассоциативті, коммутативті. Жалпы нақты сандарға тән барша қасиеттер осыларға да орынды. Және қысқартылған көбейту формулалары да осы сандарға орынды.