Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы мен оның формуласы

Кездейсоқ шама мысалы ретінде ойын сүйегін бір рет лақтырғандағы түсетін ұпай саның айтуға болады. Оны мынандай кесте арқылы бере аламыз:

Ұпай саны x = 0 болуы ықтималдығы p = 0 тең.

Ұпай саны x ⩽ 1 болу ықтималдығы p = 1/6.

Ұпай саны x ⩽ 2 болу ықтималдығы p = 1/6 + 1/6 = 2/3.

Ұпай саны x ⩽ 3 болу ықтималдығы p = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

Ұпай саны x ⩽ 4 болу ықтималдығы p = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3.

Ұпай саны x ⩽ 5 болу ықтималдығы p = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Ұпай саны x ⩽ 6 болу ықтималдығы p = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Көріп тұрғандай ұпай саны x артқан сайын оның пайда болу ықтималдығы да артады. Кездейсоқ шама мен оның ықтималдығы арасында тәуелділік бар. Соны үлестірім функциясы деп атайды.

Үлестірім функциясының аңықтамасы

X кездейсоқ шамасының X < x теңсіздігін орындау ықтималдығы үлестірім функция деп аталады:

F(x) = P(X < x)

Ойын сүйегінің үлестірім функциясының тауып көрейік.

x = 0 болса F(x) = P(X ⩽ 0) = 0.

0 ⩽ x < 1 болса F(x) = P(X < 1) = 0.

1 ⩽ x < 2 болса F(x) = P(X < 2) = 1/6.

2 ⩽ x < 3 болса F(x) = P(X < 3) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

3 ⩽ x < 4 болса F(x) = P(X < 4) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

4 ⩽ x < 5 болса F(x) = P(X < 5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3.

5 ⩽ x < 6 болса F(x) = P(X < 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

6 ⩽ x болса F(x) = P(X ⩽ 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Үлестірім функциясының қасиеттері

1) 0 ⩽ F(x) ⩽ 1.

Ықтималдық 1 артық және 0 аз болмайтыны белгілі. Сондықтан осы теңсіздік орынды болады.

2) x₁ ⩽ x₂ болса F(x₁) ⩽ F(x₂).

Демек үлестірім функциясы өспелі болып табылады. x артқан сайын оның ықтималдығы артады емес пе.

3) F(-∞) = 0. F(+∞) = 1.

4) P(a ⩽ X < b) = F(b) – F(a).

Соңғы үш оңай теңдікті сізге жаттығу ретінде дәлелдеуге қалтырамыз. Есепті білмеген есек дегендей математикада үлгір болу үшін адам көп есеп шығару керек.