Аңықтама
Егер y=f(x) функциясы x0 нүктенің белгілі бір δ аймағында: x0– δ < x < x0 + δ аңықталса әрі осы аймақта f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0))болса онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.
Функцияның максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.
Мысалдар.
a). y=sinx функциясы x1= –900 нүктеде минимумға ие, ал x2= 900 нүктеде максимумға ие.
b). y= |1-x2| функциясы x1= 0 нүктеде максимумға ие, ал минимум нүктелері екеу x2= -1, x3= 1.
Теорема
Егер (a; b) сегментінде дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең: f ′(x0)=0.
Мысал.
y=x2+2x+1
y′(x)=2x+2
2x+2=0
x=-1
Сонымен y=x2+2x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы тиіс.
Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:
Теорема
y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде үзіліссіз әрі дифференциалдансын.
f ′(x0)=0 болсын:
a). Егер x<x0 нүктелерінде f ′(x) оң ал x>x0 нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие.
b). Егер x0 >x нүктелерінде f ′(x) теріс ал x0<x нүктелерінде f ′(x) оң болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы минимумға ие.
Осы теоремаға сәйкес y=x2+2x+1 функциясының y ′(x)= 2x+2 туындысы x<x0=-1 нүктелерінде теріс ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x2+2x+1 функциясы x0=-1 нүктесінде минимумға ие.
Жаттығулар.
Мына функциялардың экстермумдарын аңықтаныз:
a) y= 3x2 -2x+1
b) y= x·lnx