Геометриялық прогрессия

Бірінші мүшесі b₁, екінші мүшесі b₂= b₁ · q, үшінші мүшесі b₃= b₂· q ,…, n-ші мүшесі

b_n=b_{n -1}· q болатын сандар тізбегі геометрикалық прогрессия деп аталады.

Мұндағы q -тұрақты сан.

Мысалдар.

a). 1, 2, 4,… сандар тізбегі геометрикалық прогрессияны құрайды.

Бұнда b₁=1, b₂=2, b₃=4, q=2. Шынымен де b₁=1, b₂=b₁·q=2 · 1=2, b₃=b₂·q =2 · 2=4.

Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы b_n=b_n-1· 2.

b). 3, 3/10, 3/100,… сандар тізбегі геометрикалық прогрессияны құрайды.

Бұнда b₁=3, b₂=3/10, b₃=3/100, q=1/10. Шынымен де b₁=3, b₂=b₁·q=3 · 1/10=3/10, b₃=b₂·q=3/10· 1/10=3/100.

Бұл прогрессияның жалпы заңдылығы b_n=b_n-1·1/10.

Геометрикалық прогрессия мүшелерінің қасиеттері:

a). b_n²=b_n-1·b_n+1

b). b_n²=b_n-k·b_n+k , k ≤ n

S_n символымен геометрикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын белгілейік.

Яғни S_n=b₁+b₂+…+b_n

Мысалы.

Жоғарыдағы 1, 2, 4,… геометрикалық прогрессия үшін S₁=1, S₂=1+2=3, S₃=1+2+4=7.

Тұжырым.

S_n= ${{b_1}{(1-{q^n})}}/{1-q}$

Егер |q|<1 болса онда S= $lim{n right infty}{S_n}$ =b₁+b₂+…+b_n+…+ шегі бар болады әрі $S={b_1}/{1-q}$

Жаттығулар.

a). 6, 12, 24,… прогрессиясының S₂, S₄ -ді есептеніз; b). b₁=3, b₂=9, b₃=27 болса S₄ неге тең?

Автор: Жандос Көксу