X кездейсоқ шамасы берілсін. Оның математикалық үміті M(X) болсын. Кездейсоқ шаманың D(X) дисперсиясы деп мына формула арқылы есептелінетін санды атаймыз:
D(X) = M(X - M(X))2
Математикалық үмітің қасиеттерін пайдалана отырып осы жақшаны ашайық:
D(X) = M(X - M(X))2 = M(X2 - 2XM(X) + M2(X))
D(X) = M(X2) - M(2XM(X)) + M(M2(X))
M(2XM(X)) = 2M(X)*M(X) = 2M2(X)
M(M2(X)) = M2(X)
D(X) = M(X2) - M(2XM(X)) + M(M2(X)) = M(X2) - 2M2(X) + M2(X)
D(X) = M(X2) - M2(X)
Осы соңғы формуламен дисперсияны табу біршама жеңіл болады. Мысалы ретінде мына кездейсоқ шаманың дисперсиясын есептеп шығайық:
| X | 1 | 2 |
| p | 0,7 | 0,3 |
Алдымен математикалық үмітін есептейміз:
M(X) = 1*0,7 + 2*0,3
M(X) = 0,7 + 0,6
M(X) = 1,3
Енді X2 шамасының үлестірім кестесін құрамыз:
| X2 | 1 | 4 |
| p | 0,7 | 0,3 |
Оның математикалық үмітін де есептеп қоямыз:
M(X2) = 1*0,7 + 4*0,3
M(X2) = 0,7 + 1,2
M(X2) = 1,9
Енді оның дисперсиясын есептеу оңай:
D(X) = M(X2) - M2(X)
D(X) = 1,9 - 1,3
D(X) = 0,6
Жаттығу ретінде мына кездейсоқ шаманың дисперсиясын есептеп қойындар:
| X | 1 | 2 | 3 |
| p | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Дисперсияның қасиеттері
X кездейсоқ шамасының D(X) дисперсиясы мынандай қасиетке ие болады:
1) D(C). C тұрақты сан болса.
2) D(CX) = C2D(X).
3) D(X + Y) = D(X) + D(Y). X пен Y тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса.
Орташа квадраттық ауытқу
Ықтималдықтар теориясының көптеген қолданыстарында дисперсиямен қатар оның түбірі де пайдаланады. Оның орташа квадраттық ауытқу деп атайды:
σ = (D(X))1/2
Осы беттегі бірнші мысалда біздің дисперсиямыз D(X) = 0,6 тең болды. Соның орташа квадраттық ауытқу шамасын есептейік:
σ = (0,6)1/2 = 0,77