Толық ықтималдық формуласы және оның есептері

Алдымен толық топ дегенді еске алайық. Мысалы бәйгеге үш ат тігілді. Оның қайсысының жеңіске жететіні белгісіз. Бірақ солардың біреуі. Осыны толық топ деп атаймыз.

Толық топ құратын B₁, B₂,..., B_n оқиғалар бар болсын. Олар A оқиғасының пайда болуына әсер ете алатындай болсын. Осы шарттар орынды болса мынандай толық ықтималдық формуласы бар:

P(A) = P(B₁)*P_B1(A) + P(B₂)*P_B2(A) +...+ P(B_n)*P_Bn(A)

Осы жердегі P_B1(A) дегеніміз B₁ оқиғасы орындалғандағы A оқиғасының пайда болу ықтималдығы. Демек шартты ықтималдық боп табылады.

Есеп шығару мысалдары

Үш мерген жарысқа қатысты. Біріншінің нысанаға тию ықтималдығы 0,5, екіншісінің 0,6 ал үшіншісінің 0,7. Үшеуінің бірі оқ атты. Қайсы екені белгісіз. Оқтын нысанаға тию ықтималдығы қандай?

B₁ бірінші мерген оқ атты, B₂ екінші және B₃ дегенді үшінші деп белгілейік. Осылар толық топ құрып тұр. Себебі ішінен біреуі оқ атты. Және олардың пайда болу ықтималдықтары бірдей:

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃)

Оған қоса толық топ құратындықтан олардың қосындысы мына теңдікті қанағаттандырады:

P(B₁) + P(B₂) + P(B₃) = 1

P(B₁) + P(B₂) + P(B₃) = P(B₁) + P(B₁) + P(B₁) = 1

3*P(B₁) = 1

P(B₁) = 1/3

Демек:

P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = 1/3

Нысанаға оқ тиді дегенді A деп белгілейміз.

Есептің шарты бойынша:

P_B1(A) = 0,5

P_B2(A) = 0,6

P_B3(A) = 0,7

Осыны формулаға қоямыз:

P(A) = P(B₁)*P_B1(A) + P(B₂)*P_B2(A) + P(B₃)*P_B3(A)

P(A) = 1/3*0,5 + 1/3*0,6 + 1/3*0,7

P(A) = 0,6

Жауабы: нысанаға тию ықтималдық 0,6 тең.

Тағы бір есепті сендерге шығарып берейік. Есте қалу үшін. Екі қап бар. Біріншісінде 3 қызыл және 5 сары шар бар. Екіншісінде 6 қызыл және 2 сары шар бар. Екі қаптын біреуінен бір шар алынды. Оның сары болу ықтималдығы қандай?

Бірінші қаптан шар алынды дегенді B₁ ал B₂ деп екінші қаптан шар алынды деп белгілейік. A деп сары шар алынды деген оқиғаны беліглейік. Қай қаптан алынғаны есеп шартында айтылған жоқ. Осы екі оқиға толық топ құрайды:

P(B₁) + P(B₂) = 1

Өйткені не бірінші не екінші қаптан шар алынды. Және олардың ықтималдықтары бірдей:

P(B₁) = P(B₂) = 1/2

Бірінші қаптан шар алынды деп есептесек сары шарды ол жерден алу ықтималдығы:

P_B1(A) = 5/(5 + 3) = 5/8

Өйткені бірінші қапта 3 қызыл және 5 сары шар бар.

Екінші қаптан сары шарды алу ықтималдығы:

P_B2(A) = 2/(2 + 6) = 2/8 = 1/4

Ал есептің шарты бойынша сары шарды екі қаптан алу ықтималдығын табу үшін былай есептеу керек:

P = P_B1(A)*P(B₁) + P_B2(A)*P(B₂)

P = 5/8*1/2 + 1/4*1/2

P = 7/16

Жауабы: сары шарды алу ықтималдығы 7/16.